VCI - 12: 高级渲染 (Advanced Rendering)

课程: 北京大学视觉计算 (Visual Computing) 2025秋季章节: 第12章高级渲染内容: 渲染方程、BRDF、微表面模型、纹理映射、光线追踪

1. 光线追踪基础

1.1 光线追踪概述

光线追踪 (Ray Tracing) 是一种基于物理的渲染方法，通过模拟光线在场景中的传播来计算逼真的图像。与光栅化不同，光线追踪能够自然地处理：

软阴影 (Soft Shadows)
反射 (Reflections)
折射 (Refraction)
全局光照 (Global Illumination)

1.2 基本原理

光线追踪的核心思想：

从相机发出光线 — 对每个像素发出一条主光线
追踪光线 — 计算光线与场景的交点
着色计算 — 在交点处计算光线的贡献
递归追踪 — 沿反射/折射方向继续追踪

1.3 光线追踪的应用

视觉特效：

Ex Machina (2014) — 机器人角色渲染
Gravity (2013) — 空间场景光照
The Lord of the Rings (2003) — 复杂场景渲染

视频游戏：

Assassin’s Creed Odyssey (2018)
Black Myth: Wukong (2024)
Elden Ring (2022)
实时光线追踪通过GPU加速实现

科学可视化：

物理模拟结果可视化
医学影像渲染
建筑光照分析

2. 渲染方程

2.1 光学基础

辐射度量学 (Radiometry)

辐射通量 (Radiant Flux)：单位时间内的能量，单位为瓦特 (W)

\[\Phi = \frac{dQ}{dt}\]

辐照度 (Irradiance)：单位面积接收的辐射通量，单位为 W/m²

\[E = \frac{d\Phi}{dA}\]

辐射强度 (Intensity)：单位立体角的辐射通量，单位为 W/sr

\[I = \frac{d\Phi}{d\omega}\]

辐射率 (Radiance)：单位立体角、单位投影面积的辐射通量，单位为 W/(m²·sr)

\[L = \frac{d^2\Phi}{dA \cos\theta \, d\omega}\]

其中 $\theta$ 是光线与表面法线的夹角。

2.2 渲染方程

渲染方程 (Rendering Equation) 是计算机图形学中最重要的方程，描述了点p处沿方向 $\omega_o$ 发出的辐射：

\[L_o(p, \omega_o) = L_e(p, \omega_o) + \int_{\Omega} f_r(p, \omega_i, \omega_o) L_i(p, \omega_i) \cos\theta_i \, d\omega_i\]

各项含义：

$L_o(p, \omega_o)$ — 点p沿 $\omega_o$ 方向的出射辐射
$L_e(p, \omega_o)$ — 点p的自发光
$\int_{\Omega}$ — 对所有入射方向的积分
$f_r(p, \omega_i, \omega_o)$ — BRDF (双向反射分布函数)
$L_i(p, \omega_i)$ — 从 $\omega_i$ 方向入射到点p的辐射
$\cos\theta_i$ — 余弦因子（表示入射角的影响）

2.3 渲染方程的含义

渲染方程表明：出射光 = 自发光 + 入射光经过表面反射的贡献

这是一个积分方程，因为：

入射光可能来自其他表面（需要递归求解）
需要对整个半球积分

2.4 蒙特卡罗积分求解

由于解析求解通常不可行，使用蒙特卡罗方法进行数值近似：

\[L_o \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f_r(p, \omega_i, \omega_o) L_i(p, \omega_i) \cos\theta_i}{p(\omega_i)}\]

其中 $p(\omega_i)$ 是采样方向的概率分布。

3. BRDF - 双向反射分布函数

3.1 BRDF定义

双向反射分布函数 (Bidirectional Reflectance Distribution Function, BRDF) 表示从入射方向 $\omega_i$ 来的光线有多少比例被反射到出射方向 $\omega_o$：

\[f_r(p, \omega_i, \omega_o) = \frac{dL_o(p, \omega_o)}{dE_i(p, \omega_i)}\]

单位：sr⁻¹ (每立体角)

物理约束：非负性

\[f_r(p, \omega_i, \omega_o) \geq 0\]

3.2 能量守恒

BRDF必须满足能量守恒定律——反射的能量不能超过入射的能量：

\[\int_{\Omega} f_r(p, \omega_i, \omega_o) \cos\theta_o \, d\omega_o \leq 1\]

3.3 光学可逆性

根据光学中的可逆原理，BRDF关于入射和出射方向对称：

\[f_r(p, \omega_i, \omega_o) = f_r(p, \omega_o, \omega_i)\]

3.4 标准反射模型

漫反射材料 (Diffuse / Lambertian)

完全漫反射材料的BRDF为常数：

\[f_r = \frac{\rho}{\pi}\]

其中 $\rho$ 是反射率 ($0 \leq \rho \leq 1$)。

特点：

从任何方向看都有相同的亮度
服从Lambert余弦定律
常见于哑光表面

镜面反射 (Perfect Specular)

完全镜面反射的BRDF：

\[f_r(p, \omega_i, \omega_o) = \delta(\omega_i - \omega_r) / \cos\theta_i\]

其中 $\omega_r$ 是根据反射定律计算的反射方向。

特点：

反射方向唯一确定
只在特定方向有反射
常见于镜子和抛光金属

光泽材料 (Glossy Material)

介于完全漫反射和完全镜面反射之间的材料。

特点：

在镜面反射方向附近有峰值
但不完全限制在单一方向
常见于陶瓷、塑料等

3.5 BRDF的测量

Stanford Gonioreflectometer — 在实验室中精确测量真实材料的BRDF。

过程：

固定入射光方向
在各种出射方向测量反射光强度
重复不同的入射方向
建立BRDF数据库

4. 微表面BRDF模型

4.1 微表面理论

虽然宏观上表面看起来光滑，但在微观尺度上存在许多微小的凹凸。微表面理论将这些微观结构建模为小的完全镜面反射器。

关键假设：

每个微小表面都进行完全镜面反射
微表面法线分布造成了宏观的漫反射或光泽特性

4.2 微表面BRDF的三个组成部分

1. 法线分布函数 (Normal Distribution Function, NDF)

描述微表面法线相对于宏观法线的分布。

Beckmann分布：

\[D(h) = \frac{1}{\pi \alpha^2 \cos^4\theta_h} \exp\left(-\tan^2\theta_h / \alpha^2\right)\]

其中 $h$ 是半方向（$h = \frac{\omega_i + \omega_o}{

\omega_i + \omega_o

}$），$\alpha$ 是表面粗糙度。

GGX分布 (Trowbridge-Reitz)：

\[D(h) = \frac{\alpha^2}{\pi(\alpha^2 \cos^2\theta_h + \sin^2\theta_h)^2}\]

GGX在处理高光尾部时表现更好，更符合真实材料。

2. 几何函数 (Geometry Function, G)

描述微表面遮挡和自遮挡的影响。当光线在微表面凹陷中被挡住时，不会对反射贡献。

Smith’s Shadowing-Masking 函数：

\[G(\omega_i, \omega_o, h) = G_1(\omega_i) \cdot G_1(\omega_o)\]

其中：

\[G_1(\omega) = \frac{1}{1 + \Lambda(\omega)}\]

3. Fresnel项

描述光线在不同角度的反射比例。在掠射角（接近平行于表面），反射率增加。

Fresnel-Schlick 近似：

\[F(\omega_i, h) = F_0 + (1 - F_0)(1 - \cos(\omega_i, h))^5\]

其中 $F_0$ 是垂直入射的反射率。

4.3 完整的微表面BRDF

Cook-Torrance模型：

\[f_r(\omega_i, \omega_o) = k_d \frac{\rho}{\pi} + k_s \frac{D(h) G(\omega_i, \omega_o, h) F(\omega_i, h)}{4(\omega_i \cdot n)(\omega_o \cdot n)}\]

各项：

$k_d$ — 漫反射系数
$k_s$ — 镜面反射系数
$D$ — 法线分布
$G$ — 几何函数
$F$ — Fresnel项
$(\omega_i \cdot n)$、$(\omega_o \cdot n)$ — 入射和出射方向的余弦

4.4 数据驱动的BRDF模型

对于复杂材料，直接使用测量数据拟合BRDF：

过程：

在实验室测量真实材料的BRDF
存储为高维查找表
渲染时直接查表而不是计算

优点：

准确性高
对非标准材料有效

缺点：

存储空间大
难以进行实时渲染
难以在不同光照条件下插值

5. 纹理映射

5.1 纹理映射基础

纹理映射 (Texture Mapping) 是将2D图像粘贴到3D模型表面的过程。

参数化过程：

建立UV坐标 — 将3D模型表面映射到2D平面 $(u, v) \in [0,1]^2$
查询纹理 — 根据点的UV坐标从纹理图像中查询颜色
应用到模型 — 将纹理颜色用于着色计算

数学表达：

\[\text{Color}(p) = \text{Texture}(UV(p))\]

5.2 纹理坐标的创建

展开法 (Unwrapping)

将3D模型表面”展开”成2D平面，最小化扭曲。

挑战：

如何在不过度拉伸或撕裂的情况下展开复杂表面
最小化面积和角度的扭曲

投影法

直接将3D坐标投影到2D平面：

平面投影 — 垂直投影到平面
柱面投影 — 投影到圆柱面
球面投影 — 投影到球面

5.3 纹理反射率属性 (Texture Reflectance Properties)

使用纹理控制材料的各种属性：

颜色纹理 (Diffuse/Albedo Map)

控制漫反射颜色 $\rho(u, v)$：

\[L_o = \int_{\Omega} f_r(u,v) L_i \cos\theta \, d\omega\]

其中 $f_r$ 依赖于纹理的颜色值。

法线纹理 (Normal Map)

存储微小表面的法线信息，产生凹凸感而无需修改几何：

\[n(u, v) = \text{NormalMap}(u, v)\]

在着色计算中使用这个扰动法线而不是几何法线。

优点：

增加视觉细节而不增加模型复杂度
计算高效

粗糙度纹理 (Roughness Map)

控制表面的微表面粗糙度参数 $\alpha(u, v)$：

\[\alpha(u, v) = \text{RoughnessMap}(u, v)\]

光滑的区域 ($\alpha$ 小) 显示尖锐的高光，粗糙的区域 ($\alpha$ 大) 显示扩散的高光。

金属感纹理 (Metallic Map)

区分金属和非金属材料：

金属：反射率很高，反射颜色由金属类型决定
非金属：反射率低（通常 $F_0 \approx 0.04$），反射颜色为白色

自发光纹理 (Emissive Map)

为某些区域添加自发光：

\[L_o = L_e(u, v) + \text{...反射项...}\]

5.4 纹理过滤和采样

纹理缩小 (Minification)

当纹理像素小于屏幕像素时（较远的物体）：

最近邻 — 简单但有走样
双线性过滤 — 插值相邻4个像素
三线性过滤 — 在多个mipmap级别间插值
各向异性过滤 — 考虑观看方向

Mipmap

预先计算纹理的多个分辨率版本：

Level 0 — 原始纹理 (1024×1024)
Level 1 — 2×缩小 (512×512)
Level 2 — 4×缩小 (256×256)
…

根据距离自动选择合适的mipmap级别。

5.5 几何细节纹理化 (Texture Geometric Detail)

位移映射 (Displacement Mapping)

沿着表面法线移动顶点位置：

\[p'(u,v) = p(u,v) + h(u,v) \cdot n(u,v)\]

其中 $h(u,v)$ 是从高度纹理读取的位移值。

优点：

真正改变几何
可以看到剪影边缘的细节

缺点：

需要细分网格
计算成本高

视差映射 (Parallax Mapping)

改进法线映射，考虑视点位置：

根据视线方向和高度纹理，调整UV坐标以创建深度错觉。

6. 环境和反射映射

6.1 环境映射 (Environment Mapping)

使用一张全景图像表示场景的光照环境。

立方体映射 (Cube Mapping)

将环境表示为立方体的6个面：

正X、负X — 右、左
正Y、负Y — 上、下
正Z、负Z — 前、后

优点：

离散性强，便于存储和查询
支持硬件过滤

球面映射 (Spherical Mapping)

环境存储在一张球形全景图上：

\[\text{dir} = (\sin\phi\cos\theta, \cos\phi, \sin\phi\sin\theta)\]

其中：

$\phi$ — 极角 (0到π)
$\theta$ — 方位角 (0到2π)

6.2 反射映射 (Reflection Mapping)

对于反射性强的物体，使用环境映射计算反射：

\[L_o = f_r L_e(\omega_r)\]