VCI - 11: 几何变换 (Geometric Transformations)

课程: 北京大学视觉计算 (Visual Computing) 2025秋季 章节: 第11章 几何变换 内容: 2D/3D变换、齐次坐标、运动学、视图变换

目录

1. 基础变换
2. 齐次坐标
3. 3D变换
4. 欧拉角与轴角旋转
5. 变换层次结构
6. 运动学
7. 视图变换
8. OpenGL中的变换

1. 基础变换

1.1 2D变换

2D几何变换是图形学的基础，主要包括以下几种：

平移 (Translation)

将点 $(x, y)$ 沿向量 $(t_x, t_y)$ 平移：

平移不是线性变换（因为 $T(0) \neq 0$），需要使用齐次坐标转化为线性变换。

旋转 (Rotation)

绕原点旋转 $\theta$ 角：

旋转矩阵是正交矩阵，其逆矩阵等于转置。

缩放 (Scaling)

沿坐标轴缩放：

其中 $s_x, s_y$ 是缩放因子。

反射 (Reflection)

关于x轴反射：

剪切变换 (Shear)

沿x方向剪切：

2. 齐次坐标

2.1 齐次坐标概念

齐次坐标是计算机图形学中最重要的概念之一。通过在坐标系统中添加额外的维度，我们可以将所有变换（包括平移）统一为矩阵乘法。

点与向量的区分：

• 点 (Point): $\begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix}$ — 表示空间中的位置，齐次坐标最后一项为1
• 向量 (Vector): $\begin{bmatrix} x \ y \ 0 \end{bmatrix}$ — 表示方向和大小，齐次坐标最后一项为0

基本性质：

• 点 + 向量 = 点
• 点 - 点 = 向量
• 向量 + 向量 = 向量
• 点 + 点 = ？（一般不定义，除非使用加权形式）

2.2 2D齐次坐标变换矩阵

在齐次坐标下，所有2D变换都可以用 $3 \times 3$ 矩阵表示：

平移 (齐次坐标形式)：

旋转 (齐次坐标形式)：

缩放 (齐次坐标形式)：

2.3 齐次坐标的一般形式

一般的齐次坐标 $(x, y, w)$（$w \neq 0$）代表3D空间中的点 $(x/w, y/w)$：

这种表示允许不同的缩放因子，在投影变换中非常有用。

3. 3D变换

3.1 3D坐标系统

计算机图形学中常用右手坐标系：

• X轴向右
• Y轴向上
• Z轴指向观察者（或者相反，取决于约定）

Z轴可以通过叉积确定：$\vec{Z} = \vec{X} \times \vec{Y}$

3.2 3D基础变换

使用齐次坐标，3D变换用 $4 \times 4$ 矩阵表示。

3D平移：

3D缩放：

3.3 3D旋转

绕坐标轴旋转

绕X轴旋转 (pitch)：

绕Y轴旋转 (yaw)：

绕Z轴旋转 (roll)：

4. 欧拉角与轴角旋转

4.1 欧拉角 (Euler Angles)

欧拉角使用三个连续的旋转来表示任意3D旋转：

• Heading/Yaw: 绕Z轴旋转 ($R_z$)
• Pitch: 绕X轴旋转 ($R_x$)
• Roll: 绕Y轴旋转 ($R_y$)

复合旋转：$R = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_x(\alpha)$

欧拉角的问题：

1. 角度插值不线性 — 两个欧拉角之间的插值会产生不自然的运动
2. 旋转顺序相关 — 不同的旋转顺序会产生不同的结果
3. 万向锁 (Gimbal Lock) — 当中间轴旋转90度时，会失去一个自由度

4.2 轴角旋转 (Axis-Angle Rotation)

轴角旋转用单位向量 $\vec{a}$ 和旋转角 $\theta$ 表示，更适合插值和平滑旋转。

罗德里格斯公式 (Rodrigues’ Rotation Formula)：

矩阵形式：

其中 $[\vec{a}]_\times$ 是反对称矩阵（叉积矩阵）：

这个公式的三个分量：

• $\cos\theta \mathbf{I}$ — 在垂直于旋转轴的平面内旋转
• $(1-\cos\theta)\vec{a}\vec{a}^T$ — 沿旋转轴方向的投影（保持不变）
• $\sin\theta[\vec{a}]_\times$ — 实现垂直于轴的旋转

5. 变换层次结构

5.1 仿射变换 (Affine Transformations)

仿射变换是一般形式的线性变换加平移：

其中 $\mathbf{A}$ 是 $3 \times 3$ 线性变换矩阵，$\vec{b}$ 是平移向量。

性质：

• 保持平行线平行
• 保持共线点仍然共线
• 不一定保持角度和长度

5.2 变换层次结构的应用

在建模复杂的对象（如人体骨架、机械臂）时，使用层次结构非常有效：

1. 根节点 — 代表整个对象的位置和方向
2. 内部节点 — 代表关节，包含相对于父节点的变换
3. 叶子节点 — 代表几何图元（形状）

通过这种方式，改变父节点的变换会自动影响所有子节点。

有向无环图 (Directed Acyclic Graph, DAG) — 允许多个父节点但避免循环引用。

6. 运动学

6.1 前向运动学 (Forward Kinematics)

给定关节角度和静止姿态，计算末端效应器的位置。

递推关系：

对于链式结构，第 $i$ 个关节的位置为：

其中：

• $\vec{P}_{i-1}$ — 上一个关节的位置
• $\mathbf{R}(\vec{q}_{i-1})$ — 上一个关节的旋转矩阵
• $\vec{v}_{i-1 \sim i}$ — 局部坐标系中两关节间的向量

优点：

• 计算快速
• 直观的控制参数（关节角度）

缺点：

• 无法直接指定末端位置（需要反向运动学）

6.2 逆向运动学 (Inverse Kinematics)

给定目标位置，求解关节角度。这是一个更复杂的问题，通常需要数值求解。

挑战：

• 解可能不存在（超出可达范围）
• 解可能不唯一（多个姿态达到同一目标）
• 计算复杂，需要迭代优化

7. 视图变换

7.1 相机坐标系统

将世界坐标系中的点变换到相机坐标系统中。

相机参数：

• Eye ($\vec{e}$) — 相机位置（世界坐标）
• LookAt ($\vec{a}$) — 相机指向的点（世界坐标）
• Up ($\vec{u}$) — 相机的上方向（世界坐标）

相机坐标轴（通过正交化得到）：

• $\vec{z} = \frac{\vec{e} - \vec{a}}{

  \vec{e} - \vec{a}

  }$ — 观察方向（指向相机）

• $\vec{x} = \frac{\vec{u} \times \vec{z}}{

  \vec{u} \times \vec{z}

  }$ — 右方向

• $\vec{y} = \vec{z} \times \vec{x}$ — 上方向

7.2 视图变换矩阵

将点从世界坐标变换到相机坐标的 $4 \times 4$ 矩阵：

其中 $(x_x, x_y, x_z) = \vec{x}$，以此类推。

7.3 投影变换

正交投影 (Orthographic Projection)

将立方体 $[l, r] \times [b, t] \times [n, f]$ 映射到标准立方体 $[-1, 1]^3$：

性质：

• 平行线保持平行
• 距离比例保持不变
• 不会产生透视效果

透视投影 (Perspective Projection)

模拟人眼和相机的透视效果。视锥体被映射为标准立方体。

关键步骤：

1. 将视锥体变形，使得平行线收敛到相机点
2. 映射到标准立方体 $[-1, 1]^3$

对于点 $(x, y, z)$，投影后为 $(\frac{nx}{z}, \frac{ny}{z}, z’)$

深度值的计算（为了保持线性的深度缓冲）：

当 $z = n$ 时，$z’ = -1$；当 $z = f$ 时，$z’ = 1$。

8. OpenGL中的变换

8.1 OpenGL变换管线

OpenGL使用两个主要的矩阵栈：

• GL_MODELVIEW — 模型变换 (世界坐标) + 视图变换 (相机坐标)
• GL_PROJECTION — 投影变换 (投影坐标)

glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(50.0, 1.0, 3.0, 7.0);  // 透视投影

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
gluLookAt(0.0, 0.0, 5.0,   // Eye
          0.0, 0.0, 0.0,   // LookAt
          0.0, 1.0, 0.0);  // Up

8.2 常用OpenGL变换函数

• glTranslate(tx, ty, tz) — 平移
• glRotate(angle, vx, vy, vz) — 绕任意轴旋转（轴角表示）
• glScale(sx, sy, sz) — 缩放
• glPushMatrix() / glPopMatrix() — 矩阵栈操作
• glOrtho(l, r, b, t, n, f) — 正交投影
• gluPerspective(fov, aspect, near, far) — 透视投影
• gluLookAt(ex, ey, ez, ax, ay, az, ux, uy, uz) — 设置相机视图

8.3 矩阵栈与层次结构

在绘制复杂对象时，矩阵栈用于管理变换层次：

glLoadIdentity();

// 肩关节变换
glTranslatef(Tx, Ty, 0);
glRotatef(u, 0, 0, 1);  // 肩膀旋转
glTranslatef(-px, -py, 0);

glPushMatrix();

// 肘关节变换（只影响前臂）
glTranslatef(qx, qy, 0);
glRotatef(v, 0, 0, 1);  // 肘关节旋转
glTranslatef(-rx, -ry, 0);
Draw(A);  // 绘制前臂

glPopMatrix();

Draw(B);  // 绘制上臂

这种方式确保：

1. 下级关节的变换依赖于上级关节
2. 改变肩膀角度会自动移动整个手臂
3. 改变肘关节角度只影响前臂

总结

几何变换是计算机图形学的基础：

1. 齐次坐标 — 统一了线性变换和平移，是现代图形学的关键
2. 矩阵表示 — 所有变换可组合，支持高效计算
3. 层次结构 — 使复杂模型的建模和动画成为可能
4. 运动学 — 前向运动学用于骨架动画，反向运动学用于目标驱动的姿态
5. 视图变换 — 实现观察者相机的灵活控制
6. 投影变换 — 是3D到2D投影的数学基础

这些概念贯穿整个计算机图形学，是理解后续渲染、着色等高级主题的基础。